Você não deve excluir a conta no servidor antigo antes de copiar os arquivos necessários para restauração e que ainda não tenha virado o DNS do domínio principal

ou em questão para restauração pois

Os arquivos que devemos copiar para restaurar os e-mails estão dentro da pasta mail que esta um ou dois niveis acima da pasta  public_html

Certificado que ainda não tenha trocado o DNS do domínio em questão, acesse o Cpanel pelo IP no qual o futuro domínio irá mascarar após apontamento do DNS da seguinte maneira:

Exemplo 392.168.112.112/cpanel

Lembrando que o IP acima é fictício e deve ser trocado pelo IP do servidor em questão ao qual irá receber os arquivos de e-mail do outro servidor. Feito isso você terá o acesso ao Cpanel entre e crie todas as contas de e-mail pelo procedimento padrão do Cpanel, após faça logout para sair do Cpanel, então acesse:
Exemplo 392.168.112.112/webmail

Coloque algum e-mail e senha que você acabou de criar no Cpanel e entre no Round Cube por exemplo, notará que não haverá mensagens em nenhuma pasta, o que é normal pois ainda não restauramos os arquivos, deixe aberto no navegador está página do Round Cube e siga para próxima etapa abaixo.

Faça acesso ao FTP usando o mesmo IP em questão e usando o usuário e senha do Cpanel para ter acesso root, localize a pasta mail e veja que dentro dela a todos os usuários que você criou novamente no novo servidor. Agora basta comparar as pastas que você salvou no seu computador na primeira etapa deste artigo e substituir no novo servidor, se pedir para substituir os arquivos aplique sim para todos. Após ter enviado todos os arquivos volte a página que você deixou aberto no Round Cube, e aperte F5 ou Ctrl+R para limpar a cache do navegador, notará que os e-mails foram restaurados com sucesso, caso apertando F5 ou Ctrl+R não aparecer os e-mail, verifique se fez os procedimentos corretos conforme este artigo e fez cada passo certo, ou então clique em Caixa de Entrada e menus sequentes do Round Cube para verificar se os e-mails carregam.

OBS.: Na hora de comparar e enviar os arquivos para pasta mail do novo servidor, caso ter algum arquivo na pasta que foi salva no seu pc que não aparece no novo servidor, envie da mesma forma, pois são arquivos de configuração e carregam variáveis importantes.

OBS.: Normalmente após a restauração todos o e-mails aparecem como não lidos, independe da pasta ou menu que estiverem no webmail o que é normal após este tipo de procedimento.

Feito todos procedimentos acima, certifique-se de trocar o DNS para o IP ser mascarado pelo domínio, assim podendo seguir toda rotina como era antigamente no outro servidor.

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Atenciosamente
Jhonathan Zamarchi